벡터(Vector)와 포인트(Point)

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벡터와 포인트

포인트(Point) : 위치 O (방향 X, 크기 X)
벡터(Vector) : 방향 O, 크기 O (위치 X)

P,Q,R : 포인트 (point,위치)
u,v,w : 벡터(vector)
a,b,y : 스칼라(scalar) (그리스 알파벳)
a : 벡터를 행렬로 표기하는 경우 (소문자 알파벳)
M : 행렬

‘남산타워’를 예로 들자면,
‘실제 남산타워의 위치’가 ‘포인트’
각각의 관측자가 보는 방향과 거리로 ‘남산타워’를 표현한 경우를 ‘위치 벡터’

‘포인트’는 관측자와 상관없이 특정한 고유 위치를 다룰 때 사용하는 개념이며
‘위치 벡터’는 관측자(특정 좌표계)를 기준으로 위치를 정의할때 사용한다

(대부분의 API에서 포인트와 벡터를 구분해서 구현하지는 않으니 개념적 이해를 할 것)

포인트 - 포인트 = 벡터

‘위치 - 위치’ 이므로
하나의 위치에서 다른 위치를 가리키는 벡터가 결과로 나온다
포인트 +- 벡터 = 포인트
‘위치’에서 다른 방향과 그 거리(크기)를 나타낸 것이므로
‘다른 위치’ 값이 나온다
벡터 - 벡터 = 벡터
하나의 벡터 u = (P - Q)와
다른 벡터 v = (Q -R)이 존재할 때,
u + v = P - Q + Q - R = P - R 이 되므로
새로운 벡터로 표현이 가능하다

직선(Line) P(a)는
특정한 포인트 P와
직선의 방향을 나타내는 ad 를 통하여 표현 가능
P(a) = P + ad

선분(Line Segment) P(a)는
(단, 여기서 a는 0~1 사이의 값)
P(a) = P + a(Q - P)
= P + ad
= (1-a)P + aQ
로 표현 (Q는 직선의 끝점)
(P와 Q 사이의 선형 변환과도 비슷하다)

이러한 point들 앞에 각각 scalar를 곱해 더해주는 것을
Affine Combination(Affine Sum)이라고 한다
(선형 변환과 비슷하지만 선형 변환에 ‘이동’을 추가한 것이
애파인 변환)

그래픽스와 관련된 기하학에서 ‘애파인 변환’은
점, 직선, 평면을 ‘변환’하였을 때, 계속 점, 직선, 평면으로 유지되는 것을 의미
(ex : 3차원 공간의 직선에 애파인 변환을 적용하면 여전히 직선)
(+ 점(길이가 0인 직선)으로 변환될 수도 있음)
(raytrace에서 3차원 평면이 2차원 공간으로 투영되는 변환이 애파인 변환)

프로그래밍(ex : dx)에서 많이 사용하는 방식
u = (1,2,3)
이런 방식으로 표현

‘세로 표현식’도 존재
이것을 가로로 표현할땐 반드시 Transpose 했다 표시

벡터와 포인트를 행렬로 표현할때
마지막이 0이라면 ‘벡터’
마지막이 1이라면 ‘포인트’로 구분한다