벡터에 대한 추가 내용 2
📚 목차
벡터 아마 마지막 정리?
이전에 내적과 외적을 다소 가볍게 다루었고
하다 보니 Orthogonal Projection(직교 투영)에
대하여 정리할 필요가 있어서 결국 또 포스팅을 남기려 한다
내적
두 벡터의 요소를 각각 곱하여 더하는 방식
-> 결과가 스칼라가 나오기에 스칼라곱이라고도 부른다
각 벡터가 ‘단위 벡터’인 경우,
Cos(theta)값만이 나오기에
여기에 ArcCos를 적용하면
그 각도를 구할 수 있음
(보통 radian 기준이기에 Radian to Degree 등의
연산을 해야하긴 한다)
게임으로 따지자면,
dot의 결과가 > 0 이면 그 각도가 90 이하이므로
‘같은 방향’을 바라보는 판정 등으로 쓰기도 한다
(완전히 같다면 1에 가까움)
반대로 dot의 결과가 < 0 이면
서로 ‘마주보고’ 있을 가능성이 크므로
AI 등에서 Player를 발견하였다는 걸로 처리가 가능하다
아니면 그냥 ArcCos를 쓴 후
그 값이 0 ~ 90 이거나 270 ~ 360 일 때
dot > 0 과 비슷하다고 볼 수 있음
- 내적은 이런식으로 ‘두 벡터’가 얼마나 같은 방향을 하고 있나
라는 ‘기하학적’ 의미도 내포하고 있음
정확히 같은 방향일때, cos(theta) = 1로서 가장 큰 값이 되기에
직교 투영
의미
직교 투영(Orthogonal Projection)은
하나의 벡터를 ‘다른 벡터’ 위에
‘수직으로 내린 그림자(투영)’을 구하는 것이다
그 외의 기하학적 의미로는
A 벡터는 B 벡터를 ‘얼마나 닮았는가’ 혹은
A 벡터는 B 벡터의 요소를 ‘얼마나 가지고 있는가’
등의 의미로 해석한다
수식 분석
벡터 v에서 벡터 X 방향으로 직교 투영할때
그 결과를 p라 한다
그렇다면 X의 단위벡터 n^에 대하여
p = k * n^라 표현이 가능
(p와 n^는 같은 벡터이며 그 길이만 차이가 존재)
(그렇기에 길이를 k로 잡아 수식을 정의)
이 때, k를 v와 n^의 내적으로 표현이 가능하다
(벡터 v가 n^ 방향으로 얼마나 ‘닮았는지’에 대한 표현)
따라서 k = dot(v,n^) * n^ 가 되며
이를 풀면 k = |v| * cos(theta)
(n^은 단위벡터이므로 길이 1)
(v의 길이와 cos(Theta)값을 알면 구할 수 있음)
최종적으로 Proj(v) = dot(v,n^) * n^가 된다
또한 k가 음수여도 직교 투영이 가능
(즉, theta가 90도 이상인 경우)
응용
특정한 고차원 좌표를
더 ‘낮은 차원’의 좌표로 변환(투영)한다던가
단순화 시킬때 많이 이용된다
ex) 그래픽 파이프라인에서
3차원의 3D 공간을 2차원 Screen 좌표로 바꾸게 될때
Z를 잘라내고 XY만 유지하게 될때도
‘투영’하게 된다
그외에도 특정 벡터의 ‘요소’를 파악하여
그 요소를 증폭하거나, 제거할 때도 사용 가능
ex) 기울어진 바닥에서 ‘미끄러질 때’
‘움직임 벡터’에서 바닥의 ‘normal’으로 투영하고
해당 방향에 속하는 ‘움직임 벡터’의 부분을 제거하면
바닥에 ‘착’ 붙어서 이동하는 움직임 벡터가 된다
일반적으로 사용되는 수식 ver
Proj_B(A) = dot(A, normalize(B)) * normalize(B)
직교화
의미
특정한 벡터 집합을 ‘서로 직교하는 벡터 집합’으로 변환하는 과정
(대표적인 것이 Gram-Schmidt Orthogonalization)
참고로 ‘변환’이란 위의 투영을 통하여
‘특정’ 벡터를 ‘기준 벡터’의 값으로 투영시키고 제거한다
(특정 벡터를 아래의 ‘직교 집합’으로 만드는 것)
특정 벡터 A,B,C가 존재할 때
A와 B, C를 각각 직교(90도, 내적 = 0) 시키게
만드는 것
(그냥 축 하나를 기준으로 x,y,z축으로 잡고
나머지 벡터들을 y,z 축으로 만드는 거랑 비슷)
ex) 2차원에서 보았을 때
하나의 벡터 w0을 기준으로 잡고
나머지 w1에서 w0의 ‘속성’(방향)을 제거
(v1에서 w0로 ‘직교 투영’한 값을 빼주어
w1을 구한다)
- 하나의 축을 기준으로
나머지 벡터는 ‘그 축’과 ‘닮은 방향’을 제거해
새로운 ‘축’으로 쓴다고 생각하자
직교 집합 (Orthogonal Set)
서로 직교하는 벡터들의 집합
즉, 각각의 요소들을 아무거나 하나씩 잡고
내적을 하더라도 그 값이 항상 0인 집합이다
- 여기에 모든 벡터가 단위 벡터면
Orthonormal set (정규 직교 집합)이라 한다
위의 예시로 결국 만들어진 {w0,w1}이
직교 집합이다
그람 슈미츠
직교화하는 하나의 방법
하나를 ‘축’으로
하나씩 직교화 시켜 나가는 방식
gif 예시를 통해 보자면
u1을 기준으로 시작하여
u2에서 u1의 요소를 제거
이후 u3에서 u1과 u2의 요소를 제거하여
직교 집합을 얻는다
이후, normalize하여 정규 직교 집합을 만듦
외적
두 개의 3차원 벡터 u,v를 외적하면
두 벡터에 ‘직교’하는
새로운 벡터 w를 얻는 곱셈 방식
u X v = w라 표현하며
벡터를 결과로 얻기에 벡터곱 이라고도 부른다
(u와 v는 같은 방향이거나
완전히 다른 방향만 아니면 된다)
(이 때는 하나의 축 자체가 전부 직교하기 때문)
참고로 u X v = w 일 때
v X u = -w 가 되므로 순서에 주의해야 한다
normal 벡터를 구하거나
3D 회전에서 회전축을 구할때 응용이 가능하다
2차원 벡터의 외적
2차원 상의 벡터 u에 대하여
‘수직’인 벡터 v를 구하는 공식
2D 상의 ‘반사’ 등을 표현할 때 사용 가능
(ccw/cw 등의 판별을 통해 앞/뒷면 즉,
backspace culling 등에서 응용 가능)
그 외에도 2D를 기준으로 90도 회전한 방향을 구할 때 유용
(미니맵이라던가)
그람 슈미츠와 외적
외적을 사용하여 3차원 그람 슈미츠 공식을 표현한 것
v0 = w0을 축으로
w0 X v1을 외적하여 w2를 구한 뒤
다시 w0 과 w2를 외적하여 w1을 간단히 구해낼 수 있다
결과적으로 직교화된 w0,w1,w2를 얻는다
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