변환 5

기저 벡터의 변환

좌표계를 변환할 때,
기존 벡터를 새로운 축을 기준으로 표현하는 방식
(요점은 ‘축’ 자체가 바뀐다는 점)

• 기저 벡터는 좌표계의 ‘축(Axis)’를 표현하며
  이러한 ‘축’의 표현을 변형함으로서
  변환된 좌표를 얻을 수 있다
  

각각의 축 자체가 이동했다고 볼 수 있음
i,j,k들을 ‘변환’시킴(T(i) 등)

• b(이동)
  

그림 3.8에서 사각형 내부의 점 p가
사각형 자체의 ‘변환’ 이후에도
‘사각형’ 내부의 중점의 위치에 존재
(각각의 좌표축인 i,j에 변형이 가해졌고
기존 좌표인 x,y값은 유지되어 만들어진 좌표값)

박스를 담고 있는 좌표계 자체가
특정한 벡터 b에 의하여 옮겨진 상황
(Unreal 등의 게임 엔진에서 많이 보는 상황이다)

변환의 구성

Scale 변환 -> 회전 변환 -> 이동 변환
의 순서대로 변환

순서대로 변환을 하든
변환들을 ‘모아’ 이후 벡터에 곱해주든
결과가 같음

(변환의 순서가 중요하다)
(a,b 변환의 결과가 달라지듯)

• 반드시 s -> r -> t의 순서를 유지하란 뜻이 아님!
  그저 특정 변환을 할 때, 그 순서를 유지하여
  일관된 결과값을 얻으라는 뜻이다
  

좌표계 변환

위의 기저 벡터 변환과 유사하지만 조금 관점이 다르다
(그래도 거의 같은 맥락)

• 요점은 ‘좌표계 변환’은 같은 벡터를 다른 좌표로 표현한다는 점
  

구분	기저 벡터 변환	좌표계 변환
핵심 개념	축(기저 벡터) 자체가 바뀜	같은 벡터를 다른 좌표계 기준으로 재표현
변하는 것	축의 방향/위치	좌표값(성분)
안 변하는 것	좌표값(해당 기저 기준)	축(기저 벡터)
게임 예시	부모 Actor 회전 시 자식의 Local 좌표는 변하지 않지만, 월드에서의 위치/방향은 변함	월드 좌표를 로컬 좌표로 변환하거나, 로컬 좌표를 월드 좌표로 변환
그래픽스 예시	로컬 축(Forward/Right/Up)이 월드 기준에서 다른 방향을 가리키게 됨	월드 → 뷰 → 클립 → NDC → 스크린 좌표 변환

좌표의 변환은 여러모로 다양한 것을 내포하고 있다
게임 엔진등에서 보이는 로컬 좌표계 등
ex) 플레이어가 박스를 들고 10m 앞으로 가게 되면
박스의 world 좌표 역시 10m 앞으로 이동한다
(다만 플레이어의 기준에서 box의 좌표는 변함 없음)
(local 좌표)

요점?
위에서도 말하였듯
기저 벡터 변환은 기존의 ‘축’이 변환되어 좌표가 새로이 표현되는 것이고
좌표계 변환은 ‘새로운’ 축을 기준으로 좌표를 재해석 하는 것이다

벡터 사례

pa(x,y) 가 pb(x’,y’)로 변하는 상황
u,v는 a 기준의 좌표축

그렇기에 a에서는 새로운 X,Y 축을 알면
반대로 b에서는 기존의 u,v를 알면
서로 좌표계 변환이 가능하다
(pa <-> pb)

포인트 사례

포인트는 움직이지 않는 위치이기에
pa 와 pb는 결국 같은 위치이지만
좌표계 A와 좌표계 B의 축에서 각각 표현한 요소이기에
A의 원점 - B의 원점 의 벡터인 Q가 필요하다
(위 공식은 정확히는 B 좌표계의 기준의 설명)

예시

두 좌표계 사이의 거리가 위쪽으로 10이라면
초록색 점 p를
pa에선 (1,1)
pb에선 (1,11)로 표현이 가능

• 좌표계 변환은 하나의 축에서 ‘다른 좌표계’에 겹쳐놓는 방식으로
  이해하여도 된다
  그렇기에 b 좌표계를 위쪽으로 10 옮겨 pb를 계산한 것
  

행렬로 표현

좌표계 변환도 행렬로 표현이 가능

좌표계 변환 행렬의 결합 법칙

3개의 좌표계가 존재할 때
결합 법칙을 통하여
값을 구할 수도 있음

좌표계 변환 행렬의 역행렬

좌표계 변환의 역행렬을 구하여 이전 좌표계를 구할수도 있다
(아니면 ‘역변환’을 구하여 역행렬과 같은 효과를 내던가)

2D 좌표계에서 클릭한 좌표가
3D 월드에서 어디즈음 해당하는지를 알고 싶은 경우에
주로 사용
(Screen 기준의 line trace 라든가)
(흔한 fps 게임의 사격 위치 구하기)

변환 행렬 vs 좌표계 변환 행렬

모든 변환 행렬을 처음부터 계산하는 방식도 있으나
각각의 좌표계를 통해 계산하는 방식도 존재

전자의 예시는 World 좌표에서 애니메이션 중인 로봇의 손가락의 움직임을 보는 것이고
(하나의 World 좌표를 통해 전체적인 좌표 변환)
후자는 World -> 로봇 -> 로봇 팔 -> 로봇 손 -> 손가락 을 보는 방식
(각각의 좌표계를 통해 변환)

-> 기본적인 결과는 동일

다만 상황에 따라서 골라 쓸 수 있다는 점을 알아두자
(World 좌표로만 표현하는게 이득일 수도 있고
각각의 좌표계를 가지고 있는것이 이득일 수도 있으니)